Lecture # 27 : Linear Recurrences

1 Recurrences A linear, first order recurrence is a problem of the form x(j) = a(j)x(j − 1) + y(j), x(1) = y(1) (x(0) = 0), 1 · · · · · · · −a(2) 1 · · · · · · · −a(3) 1 · · · · · · · −a(4) 1 · · · · · · · −a(5) 1 · · · · · · · −a(6) 1 · · · · · · · −a(7) 1 · · · · · · · −a(8) 1 Such a bidiagonal system of equations corresponds to the forward solution of a system Ax = y after LU–factorization of A, where A is a tridiagonal system of equations and no pivoting is used. The solution of the upper bidiagonal system of equations, Ux = y corresponds to a backward running recurrence. In matrix form we have ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ u(1, 1) u(1, 2) · · · · · · · u(2, 2) u(2, 3) · · · · · · · u(3, 3) u(3, 4) · · · · · · · u(4, 4) u(4, 5) · · · · · · · u(5, 5) u(5, 6) · · · · · · · u(6, 6) u(6, 7) · · · · · · · u(7, 7) u(7, 8) · · · · · · · u(8, 8) For U in the factorization A = LU of a tridiagonal matrix, both diagonals of U assume arbitrary values. In recurrence form, the upper bidiagonal system of equations can be written as u(j, j)x(j) + u(j, j + 1)x(j + 1) = y